Sağ Yön Sayı Tabanları

Matematikte Sağ Yön, sayı tabanlarının farklı bir yorumudur. Bu yorumda 1 tabanına ait 1 sayısı en büyük sayıdır. Tabanlara ait sayı elemanların değerleri sayı/taban kuralına göre oluşur.

Sağ Yön sayı tabanları ve sayıları bu çalışmayla birlikte tanımlanmış ve bir temel kazanmıştır.

Matematikte Sağ Yön diye bir tanım yaptığımız zaman, doğal olarak öncelikle matematikte Sol Yön'ün ne anlama geldiğini açıklamak gerekir. Sol Yön, sayı tabanlarının halen kullandığımız şekildeki normal dizilimini temsil eder. Aşağıdaki tablo sayıların Sol Yön içindeki dizilimi göstermektedir. Normal olarak sayı tabanlarını ve sayıları bu klasik tabloda gördüğümüz şekilde ele alır ve kullanırız.

Bildiğimiz gibi, gündelik hayatımızda 10 sayı tabanını kullanıyoruz. 10 Sayı tabanı 10 elemandan (digits) (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) oluşur. Bunun yanı sıra Binary (2 tabanı) ve Hexadecimal (16 Tabanı) gibi bazı sayı tabanları özellikle programlamada ve matematiksel hesaplamalarda sıklıkla kullanılan sayı tabanlarıdır.

Herhangi bir sayı herhangi bir tabana göre yazılabilir. Örneğin "127" sayısının bazı sayı tabanlarına göre yazılımı şu şekildedir:

Örneklerde 127 sayısının 10 ve 4 tabanına göre açılımları gösterilmiştir.

Sol Yönde hiç kullanılmasa da, Sağ Yön için 1 Tabanı son derece önemlidir. 1 Tabanı tek bir elemandan oluşur, ancak onu ifade edebilmek için ikinci bir yardımcı sayıya da ihtiyaç duyulur. Bunun için 0 sayısı kullanılır. 1 Tabanındaki sayılar iki türlü gösterilebilir.

Tabloda görüldüğü üzere 1. gösterim şeklinde sayı değeri kadar 1'i arka arkaya yazıyoruz.

2. gösterim şeklinde ise sayı değeri kadar 0'ı ard arda ekliyoruz ve başına 1 ekliyoruz.

Bu çalışmada her iki gösterim şeklini de kullanılmıştır. Mesela yukarıdaki ana tabloda, tabloya uyum açısından ikinci gösterim şekli tercih edilmiştir.

Bir sayı tabanının elemanı olan sayılar her zaman taban değerinden daha küçük değerlere sahiptirler. Mesela, 2 tabanı (0,1), 6 tabanı (0,1,2,3,4,5), Hexadecimal adındaki Taban 16 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F) sayılarından oluşur. Ancak mecburiyetten ötürü ve bir istisna olarak, 1 tabanında hem sayı değerinde hem de taban değerinde 1 kullanılır. Yani; 1 tabanında 1_{1 ,}10_1,111₁vs. şekilde gösterim yapılır.

Matematiksel hesaplamalar için kullanışsız olması sebebiyle 1 sayı tabanı Sol Yönde kullanılmaz. Ama gene de bu sayı tabanını kullanarak hesaplama yapabiliriz. Örnek olarak 3+2=5 işlemi 1 tabanında aşağıdaki gibidir:

Yazımda taban gösterildiği zaman, gösterim şekli konusunda bir karışıklığa düşülmez. 11111₁=100000₁

Aşağıdaki karşılaştırmalı tablo Sol Yön sayı tabanları ve Sağ Yön sayı tabanları arasındaki farkı göstermektedir. (Tablodaki değerler sayı yazım kuralı göz ardı edilerek ondalık sisteme göre düzenlenmiştir.) . Görüldüğü gibi Sağ Yön sayıları 1₁ = 2 * 1₂ = 3 * 1₃ = 4 * 1₄ = _{................} = (n-1) * 1_n-1 = n * 1_n kuralı ile şekillenmektedir.

Aşağıda, yukarıdaki tablonun sayı yazım kuralına uygun şekilde hazırlanmış halini görüyoruz. Tabloya geometrik bir yorum da eklenerek sayılar taşıdıkları değer ölçüsünde tablo içinde düşey yönde konumlandırılmıştır.

Sağ Yön tablosu içinde bütün sayılar 1 tabanını temsil eden 1₁ sayısının uzunluğu içinde kalır.

1 Uzunluğu Tanımı:

Sağ Yön sayı tabanları tablosunda 1 tabanındaki 1₁ sayısını temsil eden ve aynı zamanda 0-1 sayı aralığını gösteren uzunluğa 1 Uzunluğu adı verilir.

Sağ Yön Sayılarının 1 Uzunluğu üzerindeki konumu ve sayısal değeri:

Sağ Yönde bir sayı elemanı içerdiği değer oranında 1 Uzunluğu üzerinde yeri değişmeyen bir noktada ve sayıDeğeri/taban ölçüsünde konumlanır. Misal olarak, Taban 6'ya ait 2 sayısı 1 Uzunluğu'nun 0,333... noktasında, Taban 8'e ait 3 sayısı 1 Uzunluğu'nun 0.375 noktasındadır. Konum noktası değeri aynı zamanda sayının gerçek sayısal değeridir.

(Aynı sayıların Sol Yöndeki karşılıkları 2₆= 2 ve 3₈= 3 şeklindedir.)

Aşağıdaki tabloda Sol Yön ve Sağ Yön sayılarının ana karakterlerini karşılaştırmalı olarak görüyoruz.

Sağ Yönde sayı elemanlarının payda değerlerine kendi taban değerleri yazılarak kesirli gösterim şekli elde edilir. Aşağıdaki tabloda Sağ Yön Sayı Tabanlarının doğal ve kesirli olmak üzere iki farklı gösterim şeklini görüyoruz. Kesirli gösterimde pay ve payda da kolaylık amacıyla Ondalık sayı sistemi kullanılır. Ama bunun yanı sıra sayı yazım kuralına uygun olarak da Sağ Yönde sayılar gösterilebilir.

Her iki yön arasında bir köprü oluşturmak amacıyla, Sol Yöndeki 1 sayı tabanına ait 1₁ sayısı ile Sağ Yöndeki 1 sayı tabanına ait 1₁ sayısının birbirine eşit olduğu kabul edilir. Dolayısıyla, Sağ Yönün 1 Uzunluğu, Sol Yöndeki 1 sayısına eşittir.

Bir sayının bire eşit ve birden büyük değeri sayının Sol Yön bileşeni, birden küçük olan değerleri ise sayının Sağ Yön bileşenidir.

Virgülün solunda kalan ve bir tam sayı olan 19 rakamı sayının Sol Yön bileşenidir ve Sol Yön Sayı tabanları ile ifade edilmektedir.

Virgülün sağında kalan ve 1 den küçük olan kısım ise 0,375 değeridir. Şimdi 0,375 sayısının Sağ Yön Sayı tabanlarına ait bir değer olduğunu gösterelim:

Sağ Yön Sayı tabanlarında bir sayının değeri sayı/ taban şeklinde oluştuğu için, 3/8 kesiri, Sağ Yönde Taban 8 deki 3 sayına denk düşmektedir.

Bir sayının bire eşit ve birden büyük değeri sayının Sol Yön bileşeni, birden küçük olan değeri ise sayının Sağ Yön bileşenidir ve sayının değeri bu iki bileşenin toplamından oluşur. Sol Yön ve Sağ Yön sayıları beraberce Rasyonel bütün sayıları kapsarlar.

2,3333333..... = 2 + 0,333333.... = 2 + 1/3 = 2₁₀(Sol Yön) + 1₃(Sağ Yön)

Tanımı gereği İrrasyonel sayılar Sağ Yönde kesin bir çözüme sahip değildir. İrrasyonel sayılarda Sağ Yön kesrindeki pay ve payda değerleri sonsuza uzanan değerler alır. Sonsuz sayıları yazamayacağımız için pay ve payda değerlerini bir noktada sonlandırarak İrrasyonel sayıları yaklaşık bir şekilde ifade edebiliriz.

Sonuç olarak, 0-1 aralığı içinde kalan sayılar Sağ Yön sayılarıdır. Bir sayının değeri, Sol Yön sayı tabanına ait bir bileşen ile Sağ Yön sayı tabanına ait bir bileşenin toplamından oluşur.

Sağ Yön araştırılması gereken kapsamlı bir konudur. İlginç yapısı dolayısıyla, Sağ Yön sayı tabanları ve sayıları kullanılarak değişik algoritmalar, çözümler üretmenin mümkün olduğunu düşünüyorum. Eğer matematikçiler bu konunun üzerinde çalışırlarsa sanırım çok ilginç bulgulara ulaşacaklardır.

Sağ Yön matematiğinin benim için en güzel sonucu şüphesiz Alice Yasası adını verdiğim fizik konusunda ki çalışmama beni ulaştırmasıdır.